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本文目录导读：

三维几何基础公式
三维变换公式
三维投影公式
三维光照与阴影公式
物理模拟公式

在三维空间中，计算公式是构建虚拟世界和实现复杂效果的基础，无论是几何建模、投影变换、光照模拟还是物理模拟，精准的3D计算公式都能确保结果的准确性和高效性，本文将详细阐述3D计算中涉及的关键公式及其应用,帮助读者全面理解其背后的数学原理。

三维几何基础公式

三维几何是3D计算的核心，包括点、向量、直线、平面等基本元素的表示和运算。

点与向量的表示

点：在三维空间中，点用坐标表示为 ( P(x, y, z) )。
向量：向量表示为 ( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) )，向量的长度（模）为 ( ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} )。

点积（Dot Product）

点积是两个向量的标量乘积，用于计算两个向量之间的夹角。公式： [ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z ] 点积的几何意义是： [ \vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cdot \cos\theta ] ( \theta ) 是两向量之间的夹角。

叉积（Cross Product）

叉积是两个向量的向量乘积，结果是一个与原向量垂直的向量。公式： [ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) ] 叉积的模长等于两向量构成平行四边形的面积。

向量的长度

向量的长度计算公式： [ ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} ]

点到平面的距离

点 ( P(x_0, y_0, z_0) ) 到平面 ( ax + by + cz + d = 0 ) 的距离： [ D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} ]

三维变换公式

三维变换包括平移、旋转、缩放等操作,这些变换可以通过矩阵运算高效实现。

平移变换

平移变换将点 ( P(x, y, z) ) 沿向量 ( \vec{t} = (t_x, t_y, t_z) ) 移动，公式为： [ P' = (x + t_x, y + t_y, z + t_z) ] 在齐次坐标系中，平移矩阵为： [ T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \ 0 & 1 & 0 & t_y \ 0 & 0 & 1 & t_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

旋转变换

绕x轴旋转θ角的旋转矩阵： [ R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} ] 绕y轴旋转θ角的旋转矩阵： [ R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \ 0 & 1 & 0 \ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} ] 绕z轴旋转θ角的旋转矩阵： [ R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ \sin\theta & \cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

缩放变换

缩放变换将点 ( P(x, y, z) ) 沿各轴缩放，缩放因子为 ( s_x, s_y, s_z )，公式为： [ P' = (x \cdot s_x, y \cdot s_y, z \cdot s_z) ] 缩放矩阵为： [ S = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 & 0 \ 0 & 0 & s_z & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

复合变换

复合变换是多个变换的组合，可以通过矩阵乘法实现，先旋转再平移的变换矩阵为： [ M = T \cdot R ]

三维投影公式

投影是将三维物体映射到二维平面上的过程,常见的投影方式包括透视投影和正交投影。

透视投影

透视投影的公式为： [ x' = \frac{x}{z + d} ] [ y' = \frac{y}{z + d} ] ( d ) 是投影平面到观察者的距离。

正交投影

正交投影的公式为： [ x' = x ] [ y' = y ] [ z' = z ] 即直接将三维点映射到二维平面上。

三维光照与阴影公式

光照和阴影是实现逼真3D效果的重要部分。

点光源的光照强度

点光源的光照强度公式为： [ I = \frac{I_0}{r^2} ] ( I_0 ) 是光源强度，( r ) 是距离。

平面反射光

平面反射光的公式为： [ I_{\text{refl}} = I \cdot \cos\theta ] ( \theta ) 是入射角和反射角的夹角。

投影矩阵

投影矩阵用于将三维点映射到二维投影面上，公式为： [ P = \begin{bmatrix} \frac{1}{(aspect \cdot (z + d))} & 0 & 0 & 0 \ 0 & \frac{1}{(z + d)} & 0 & 0 \ 0 & 0 & \frac{1}{f - near} & \frac{f \cdot near}{f - near} \ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} ]

物理模拟公式

物理模拟是实现动态3D效果的关键，涉及刚体动力学、碰撞检测等。

牛顿运动定律

牛顿第一定律：物体在不受外力作用时保持静止或匀速直线运动状态。牛顿第二定律：( F = m \cdot a ) 牛顿第三定律：作用力与反作用力相等且相反。

刚体动力学

刚体动力学模拟物体的运动，包括平移和旋转，运动方程为： [ m \cdot \vec{a} = \vec{F} ] [ \vec{I} \cdot \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times \vec{I} \cdot \vec{\omega} = \vec{\tau} ] ( \vec{I} ) 是惯性矩，( \vec{\alpha} ) 是角加速度，( \vec{\tau} ) 是扭矩。